В какой геометрии параллельные прямые пересекаются? Николай Лобачевский: параллельные прямые все-таки пересекаются! Доказательство лобачевского о параллельных прямых

Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения, как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы.

Определение прямой следующее: "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A.

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в "Началах" Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида. геометрия лобачевский евклидовый

Среди пытавшихся доказать были следующие учёные: древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X - начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI - начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), немецкий математик Клавиус (1574), итальянские математики Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Борелли (1658), Дж. Витале (1680), английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура), французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).

При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным. Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:

итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),

Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:

немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

Лобачевский в работе "О началах геометрии" (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г.Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:

Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее "воображаемой геометрией"; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.

В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.

Лобачевский строил свою геометрию , отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Приведём (в современных обозначениях) несколько аксиом геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

Через точку P, не лежащую на данной прямой R (см. рисунок), проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).

Угол и между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a):

Здесь q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше р и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность

д = р? (б + в + г),

где б, в, г - углы треугольника, пропорциональна его площади:

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: рq2.

Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число р не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от р; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2р, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай геометрии Лобачевского.

LV 1 . (Аксиома параллельности Лобачевского). В любой плоскости существует прямая а 0 и точка А 0 , не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 .

Множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиоме параллельности Лобачевского будем называть трехмерным пространством Лобачевского и обозначать через Л 3 . Большинство геометрических свойств фигур будут рассматриваться нами на плоскости пространства Л 3 , т.е. на плоскости Лобачевского. Обратим внимание на то, что формальное логическое отрицание аксиомы V 1 , аксиомы параллельности евклидовой геометрии, имеет именно ту формулировку, которую мы привели в качестве аксиомы LV 1 . На плоскости существует, по крайней мере, одна точка и одна прямая, для которых не выполнено утверждение аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Докажем теорему, из которой следует, что утверждение аксиомы параллельности Лобачевского справедливо для любой точки и любой прямой плоскости Лобачевского.

Теорема 13.1. Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует по крайней мере две прямые, проходящие через А и не пересекающие прямую а.

Доказательство. Доказательство проведем методом «от противного», при этом воспользуемся теоремой 11.1 (см. § 11). Пусть в пространстве Лобачевского существует такая точка А и прямая а, что в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая а. Опустим и точки А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр h к прямой АВ (рис. 50). Как следует из теоремы 4.2 (см § 4) прямые h и а не пересекаются. Прямая h, в силу предположения, - единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а. Выберем на прямой а произвольную точку С. Отложим от луча АС в полуплоскости с границей АВ, не содержащей точку В, угол САМ, равный АСВ. Тогда, как следует из той же теоремы 4.2, прямая АМ не пересекает а. Из нашего предположения следует, что она совпадает с h. Поэтому точка М принадлежит прямой h. Треугольник АВС – прямоугольный, . Вычислим сумму углов треугольника АВС: . Из теоремы 11.1 следует, что выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому в рассматриваемой плоскости не может существовать таких точки А 0 и прямой а 0 , что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 . Мы пришли к противоречию с условием аксиомы параллельности Лобачевского. Теорема доказана.

Следует заметить, что в дальнейшем мы будем пользоваться утверждением именно теоремы 13.1, по сути, заменяя им утверждение аксиомы параллельности Лобачевского. Кстати, во многих учебниках именно это утверждение принято в качестве аксиомы параллельности геометрии Лобачевского.

Из теоремы 13.1 легко получить следующее следствие.

Следствие 13.2. В плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Действительно, пусть а данная прямая, а А – точка, ей не принадлежащая, h 1 и h 2 – прямые, проходящие через А и не пересекающие а (рис. 51). Очевидно, что все прямые, которые проходят через точку А и лежат в одном из углов, образованных h 1 и h 2 (см. рис. 51), не пересекают прямую а.

В главе 2 мы доказали ряд утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Их логические отрицания характеризуют свойства фигур на плоскости Лобачевского.

Во первых, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание пятого постулата Евклида. В параграфе 9 нами был сформулирован сам постулат и доказана теорема о его эквивалентности аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 9.1). Его же логическое отрицание имеет вид:

Утверждение 13.3. На плоскости Лобачевского существуют две непересекающиеся прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов.

В § 12 нами было сформулировано предложение Посидония: на плоскости существуют по крайней мере три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Также мы доказали теорему 12.6: предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Таким образом, на плоскости Лобачевского действует отрицание этого утверждения.

Утверждение 13.4. Множество точек, равноудаленных от прямой на плоскости Лобачевского и расположенных в одной полуплоскости относительно ее, в свою очередь не лежат на одной прямой.

На плоскости Лобачевского множество точек, равноудаленных от прямой и принадлежащей одной полуплоскости относительно этой прямой, образуют кривую линию, так называемую эквидистанту. Ее свойства будут рассмотрены нами позже.

Рассмотрим теперь предложение Лежандра: пДоказанная нами теорема 11.6 (см. § 11) утверждает, что Отсюда следует, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого предложения.

Утверждение 13.5. На стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла.

Отметим свойства треугольников и четырехугольников плоскости Лобачевского, которые непосредственно следуют из результатов параграфов 9 и 11. Прежде всего, теорема 11.1. утверждает, что предположение о существовании треугольника, сумма углов которого совпадает с суммой двух прямых углов, равносильно аксиоме параллельности евклидовой плоскости. Отсюда и из первой теоремы Лежандра (см. теорему 10.1, § 10) следует следующее утверждение

Утверждение 13.6. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Отсюда непосредственно вытекает, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d, а сумма углов любого выпуклого n – угольника меньше 2(n-1)d.

Так как на евклидовой плоскости углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери равны прямым углам, что в соответствии с теоремой 12.3 (см. § 12) равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то можно сделать следующий вывод.

Утверждение 13.7. Углы, прилегающие к верхнему основанию четырехугольника Саккери – острые.

Нам осталось рассмотреть еще два свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Первое из них связано с предложением Валлиса: на плоскости существует хотя бы одна пара треугольников с соответственно равными углами, но не равными сторонами. В параграфе 11 мы доказали, что это предложение эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 11.5). Логическое отрицание этого утверждения приводит нас к следующему выводу: на плоскости Лобачевского не существует треугольников с равными углами, но не равными сторонами. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Утверждение 13.8. (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского). Любые два треугольника на плоскости Лобачевского, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. Вокруг любого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Ответ на него дает теорема 9.4 (см. § 9). В соответствии с этой теоремой, если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то на плоскости выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому логическое отрицание утверждения этой теоремы приводит нас к следующему предложению.

Утверждение 13.9. На плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.

Легко построить пример такого треугольника. Выберем некоторую прямую а и точку А, которая ей не принадлежит. Опустим из точки А перпендикуляр h на прямую а. В силу аксиомы параллельности Лобачевского существует прямая b, проходящая через А и не перпендикулярная h, которая не пересекает а (рис. 52). Как известно, если вокруг треугольника описана окружность, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому нам достаточно привести пример такого треугольника, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. Выберем точку М на прямой h, так как показано на рисунке 52. Симметрично отобразим ее относительно прямых а и b, получим точки N и P. Так как прямая b не перпендикулярна h, то точка Р не принадлежит h. Поэтому точки M, N и P составляют вершины треугольника. Прямые а и b служат по построению его серединными перпендикулярами. Они же, как было сказано выше, не пересекаются. Треугольник MNP – искомый.

Легко построить пример треугольника плоскости Лобачевского, вокруг которого можно описать окружность. Для этого достаточно взять две пересекающиеся прямые, выбрать точку, которая им не принадлежит, и отразить ее относительно этих прямых. Проведите подробное построение самостоятельно.

Определение 14.1. Пусть даны две направленные прямые и . Они называются параллельными, если выполнены условия:

1. прямые а и b не пересекаются;

2. для произвольных точек А и В прямых а и b любой внутренний луч h угла АВB 2 пересекает прямую а (рис. 52).

Обозначать параллельные прямые будем так же, как принято в школьном курсе геометрии: a || b. Заметим, что этому определению удовлетворяют параллельные прямые на евклидовой плоскости.

Теорема 14.3. Пусть на плоскости Лобачевского дана направленная прямая и точка В, которая ей не принадлежит. Тогда через данную точку проходит единственная направленная прямая такая, что прямая а параллельна прямой b.

Доказательство. Опустим из точки В перпендикуляр ВА на прямую а и из точки В восставим перпендикуляр р к прямой ВА (рис. 56 а). Прямая р, как уже неоднократно отмечалось, не пересекает данную прямую а. Выберем на ней произвольную точку С, разобьем точки отрезка АС на два класса и . Первому классу будут принадлежать такие точки S этого отрезка, для которых луч BS пересекает луч АА 2 , а второму классу принадлежат такие точки T, для которых луч ВТ не пересекает луч АА 2 . Покажем, что такое разбиение на классы производит дедекиндово сечение отрезка АС. В соответствии с теоремой 4.3 (см. § 4) нам следует проверить, что:

2. и классы и содержат точки, отличные от А и С;

3. любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса .

Первое условие очевидно, все точки отрезка принадлежат одному или другому классу, при этом сами классы, исходя из их определения, не имеют общих точек.

Второе условие также легко проверить. Очевидно, что и . Класс содержит точки, отличные от А, для проверки этого утверждения достаточно выбрать какую либо точку луча АА 2 и соединить ее с точкой В. Этот луч пересечет отрезок ВС в точке первого класса. Класс также содержит точки, отличные от С, иначе мы придем к противоречию с аксиомой параллельности Лобачевского.

Докажем третье условие. Пусть существует такая точка S первого класса, отличная от А, и такая точка Т второго класса, что точка Т лежит между А и S (см. рис 56 а). Так как , то луч BS пересекает луч АА 2 в некоторой точке R. Рассмотрим луч ВТ. Он пересекает сторону AS треугольника ASR в точке Т. В соответствии с аксиомой Паша этот луч должен пересечь либо сторону AR, либо сторону SR этого треугольника. Предположим, что луч ВТ пересекает сторону SR в некоторой точке О. Тогда через точки В и О проходит две различные прямые ВТ и BR, что противоречит аксиоме аксиоматики Гильберта. Таким образом, луч ВТ пересекает сторону AR, откуда следует, что точка Т не принадлежит классу К 2 . Полученное противоречие приводит к утверждению, точка S лежит между А и Т. Условие теоремы 4.3 проверено полностью.

В соответствии с заключением теоремы 4.3 о дедекиндовом сечении на отрезке АС существует такая точка , для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и С - принадлежит классу . Покажем, что направленная прямая параллельна прямой . По сути, нам осталось доказать, что не пересекает прямую а, так как в силу выбора точек класса К 1 любой внутренний луч угла пересекает . Предположим, что прямая пересекает прямую а в некоторой точке Н (рис 56 б). Выберем произвольную точку Р на луче НА 2 и рассмотрим луч ВР. Тогда он пересекает отрезок М 0 С в некоторой точке Q (докажите это утверждение самостоятельно). Но внутренние точки отрезка М 0 С принадлежат второму классу, луч ВР не может иметь общих точек с прямой а. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВМ 0 и а неверно.

Легко проверить, что прямая единственная направленная прямая, проходящая через точку В и параллельная . Действительно, пусть через точку В проходит еще одна направленная прямая , которая, как и , параллельна . При этом будем считать, что М 1 – точка отрезка АС. Тогда, исходя из определения класса К 2 , . Поэтому, луч ВМ 0 является внутренним лучом угла , следовательно, в силу определения 14.1 пересекает прямую . Мы пришли к противоречию с доказанным выше утверждением. Теорема 14.3 доказана полностью.

Рассмотрим точку В и направленную прямую , которая ее не содержит. В соответствии с доказанной теоремой 14.3 через точку В проходит направленная прямая , параллельная а. Опустим из точки В перпендикуляр BH на прямую а (рис. 57). Легко видеть, что угол HBB 2 – острый . Действительно, если предположить, что этот угол прямой, то из определения 14.1 следует, что любая прямая, проходящая через точку В пересекает прямую а, что противоречит теореме 13.1, т.е. аксиоме LV 1 параллельности Лобачевского (см. § 13). Легко видеть, что предположение о том, что этот угол тупой, также приводит к противоречию теперь уже с определением 14.1 и теоремой 4.2 (см. §4), так как внутренний луч угла HBB 2 , перпендикулярный ВН не пересекает луч АА 2 . Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 14.4. Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Если из точки В прямой опустить перпендикуляр ВН на прямую , то угол HBB 2 – острый.

Из этой теоремы с очевидностью вытекает следующее следствие.

Следствие. Если существует общий перпендикуляр направленных прямых и , то прямая не параллельна прямой .

Введем понятие параллельности для ненаправленных прямых. Будем считать, что две ненаправленные прямые параллельны, если на них можно выбрать направления так, чтобы они удовлетворяли определению 14.1. Как известно, прямая имеет два направления. Поэтому, из теоремы 14.3 следует, что через точку В, не принадлежащей прямой а проходит две ненаправленные прямые, параллельные данной прямой. Очевидно, они симметричны относительно перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Эти две прямые и являются теми самыми пограничными прямыми, разделяющими пучок прямых, проходящих через точку В и пересекающих а, от пучка прямых, проходящих через В и не пересекающих прямую а (рис. 57).

Теорема 15.2. (Свойство симметричности параллельных прямых на плоскости Лобачевского). Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Тогда направленная прямая параллельна прямой .

Свойство симметричности понятия параллельности прямых на плоскости Лобачевского позволяет нам не указывать порядок направленных параллельных прямых, т.е. не уточнять, какая прямая является первой, а какая второй. Очевидно, что свойство симметричности понятия параллельности прямых имеет место и на евклидовой плоскости. Оно непосредственно следует из определения параллельных прямых в евклидовой геометрии. В евклидовой геометрии выполняется также свойство транзитивности для параллельных прямых. Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. то прямые а и с также параллельны между собой. Аналогичное свойство справедливо и для направленных прямых на плоскости Лобачевского.

Теорема 15.3. (Свойство транзитивности параллельных прямых на плоскости Лобачевского). Пусть даны три различные направленные прямые , . Если и , то .

Рассмотрим направленную прямую , параллельную направленной прямой . Пересечем их прямой . Точки А и В соответственно точки пересечения прямых , и , (рис. 60). Справедлива следующая теорема.

Теорема 15.4. Угол больше угла .

Теорема 15.5. Внешний угол вырожденного треугольника больше внутреннего угла, не смежного с ним.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 15.4. Проведите его самостоятельно.

Рассмотрим произвольный отрезок АВ. Через точку А проведем прямую а, перпендикулярную к АВ, а через точку В прямую b, параллельную а (рис. 63). Как следует из теоремы 14.4 (см. § 14) прямая bне перпендикулярна прямой АВ.

Определение 16.1. Острый угол, образованный прямыми АВ и b называется углом параллельности отрезка АВ.

Ясно, что каждому отрезку соответствует некоторый угол параллельности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 16.2. Равным отрезкам соответствуют равные углы параллельности.

Доказательство. Пусть даны два равных отрезкаАВ и А¢В¢. Проведем через точки А и А¢ направленные прямые и , перпендикулярные соответственно АВ и А¢В¢, а через точки В и В¢ направленные прямые и , параллельные соответственно и (рис. 64). Тогда и соответственно углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Предположим, что

Отложим от луча ВА в полуплоскости ВАА 2 угол a 2 , (см. рис. 64). В силу неравенства (1), луч l – внутренний луч угла АВВ 2 . Так как ½½ , то l пересекает луч АА 2 в некоторой точке Р. Отложим на луче А¢А 2 ¢ от точки А¢ отрезок А¢Р¢, равный АР. Рассмотрим треугольники АВР и А¢В¢Р¢. Они прямоугольные, по условию теоремы имеют равные катеты АВ и А¢В¢, по построению равны между собой вторая пара катетов АР и А¢Р¢. Таким образом, прямоугольный треугольник АВР равен треугольнику А¢В¢Р¢. Поэтому . С другой стороны, луч В¢Р¢, пересекает луч А¢А 2 ¢, а направленная прямая В 1 ¢В 2 ¢ параллельна прямой А 1 ¢А 2 ¢. Следовательно луч В¢Р¢- внутренний луч угла А¢В¢В 2 ¢, . Полученное противоречие опровергает наше предположение, неравенство (1) – ложно. Аналогично доказывается, что угол не может быть меньше угла . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой углы параллельности неравных отрезков.

Теорема 16.3. Пусть отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а углы и соответственно их углы параллельности. Тогда .

Доказательство. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 15.5 (см. § 15) о внешнем угле вырожденного треугольника. Рассмотри отрезок АВ. Проведем через точку А направленную прямую , перпендикулярную АВ, а через точку В направленную прямую , параллельную (рис. 65). Отложим на луче АВ отрезок АР, равный А¢В¢. Так как , то Р – внутренняя точка отрезка АВ. Проведем через Р направленную прямую С 1 С 2 , так же параллельную . Угол служит углом параллельности отрезка А¢В¢, а угол - углом параллельности отрезка АВ. С другой стороны, из теоремы 15.2 о симметричности понятия параллельности прямых (см. § 15) следует, что прямая С 1 С 2 параллельна прямой . Поэтому треугольник РВС 2 А 2 – вырожденный, - внешний, а - его внутренний углы. Из теоремы 15.5 следует истинность доказываемого утверждения.

Легко доказать обратное утверждение.

Теорема 16.4. Пусть и углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Тогда, если , то АВ > А¢В¢.

Доказательство. Предположим противное, . Тогда из теорем 16.2 и 16.3 следует, что , что противоречит условию теоремы.

И так мы доказали, что каждому отрезку соответствует свой угол параллельности, причем большему отрезку соответствует меньший угол параллельности. Рассмотрим утверждение, в котором доказывается, что для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между отрезками и острыми углами на плоскости Лобачевского.

Теорема 16.5. Для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.

Доказательство. Пусть дан острый угол АВС (рис. 66). Будем считать, что все рассматриваемые в дальнейшем точки на лучах ВА и ВС лежат между точками В и А и В и С. Назовем луч допустимым, если его начало принадлежит стороне угла ВА, он перпендикулярен прямой ВА и расположен в той же полуплоскости относительно прямой ВА, что и сторона ВС данного угла. Обратимся к предложению Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Нами была доказана теорема 11.6 (см. § 11), в которой утверждается, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда мы сделали вывод, что на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого утверждения, а именно, на стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла (см. § 13). Таким образом, существует такой допустимый луч m с началом в точке М, который не пересекает сторону ВС данного угла (см. рис. 66).

Разобьем точки отрезка ВМ на два класса. Классу будут принадлежать те точки этого отрезка, для которых допустимые лучи с началами в этих точках пересекают сторону ВС данного угла, а классу принадлежат те точки отрезка ВС, для которых допустимые лучи с началами в этих точках сторону ВС не пересекают. Покажем, что такое разбиение отрезка ВМ образует дедекиндово сечение (см. теорему 4.3, § 4). Для этого следует проверить, что

5. и классы и содержат точки, отличные от В и М;

6. любая точка класса , отличная от В, лежит между точкой В и любой точкой класса .

Первое условие с очевидностью выполняется. Любая точка отрезка ВМ принадлежит либо классу К 1 , либо классу К 2 . При этом точка, в силу определения этих классов, не может принадлежать двум классам одновременно. Очевидно, можно считать, что , точка М принадлежит К 2 , так как допустимый луч с началом в точке М не пересекает ВС. Класс К 1 содержит по крайней мере одну точку, отличную от В. Для ее построения достаточно выбрать произвольную точку P на стороне ВС и опустить из нее перпендикуляр PQ на луч ВА. Если предположить, что точка Q лежит между точками М и А, то тогда точки Р и Q лежат в различных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч m (см. рис. 66). Поэтому отрезок РQ пересекает луч m в некоторой точке R. Мы получим, что из точки R на прямую ВА опущено два перпендикуляра, что противоречит теореме 4.2 (см. § 4). Таким образом, точка Q принадлежит отрезку ВМ, класс К 1 содержит точки, отличные от В. Легко объяснить, почему на луче ВА существует отрезок, содержащий по крайней мере одну точку, принадлежащую классу К 2 и отличную от его конца. Действительно, если класс К 2 рассматриваемого отрезка ВМ содержит единственную точку М, то тогда выберем произвольную точку М¢ между М и А. Рассмотрим допустимый луч m¢ с началом в точке М¢. Он не пересекает луч m, иначе из точки опущены два перпендикуляра на прямую АВ, поэтому m¢ не пересекает луч ВС. Отрезок ВМ¢ искомый, и все дальнейшие рассуждения следует проводить для отрезка ВМ¢.

Проверим справедливость третьего условия теоремы 4.3. Предположим, что существуют такие точки и , что точка Р лежит между точкой U и М (рис. 67). Проведем допустимые лучи u и p с началами в точках U и P. Так как , то луч р пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Q. Прямая, содержащая луч u, пересекает сторону ВР треугольника ВРQ, поэтому согласно аксиоме аксиоматике Гильберта (аксиома Паша, см. § 3) она пересекает либо сторону ВQ, либо сторону PQ этого треугольника. Но, , поэтому луч u не пересекает сторону ВQ, следовательно, лучи р и u пересекаются в некоторой точке R. Мы снова пришли к противоречию, так как построили точку, из которой опущены два перпендикуляра на прямую АВ. Условие теоремы 4.3 выполнено полностью.

М. Отсюда следует, что . Мы получили противоречие, так как построили точку класса К 1 , расположенную между точками и М. Нам осталось показать, что любой внутренний луч угла пересекает луч ВС. Рассмотрим произвольный внутренний луч h этого угла. Выберем на нем произвольную точку К, принадлежащую углу , и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА (рис. 69). Основание S этого перпендикуляра, очевидно, принадлежит отрезку ВМ 0 , т.е. классу К 1 (докажите этот факт самостоятельно). Отсюда следует, что перпендикуляр KS пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (см. рис. 69). Луч h пересек сторону ST треугольника BST в точке К, согласно аксиоме (аксиоме Паша), он должен пересечь либо сторону BS, либо сторону ВТ этого треугольника. Ясно, что h не пересекает отрезок BS, иначе через две точки, и эту точку пересечения, проходят две прямые, h и ВА. Таким образом, h пересекает сторону ВТ, т.е. луч ВА. Теорема доказана полностью.

И так, мы установили, что каждому отрезку в геометрии Лобачевского можно поставить в соответствие острый угол – его угол параллельности. Будем считать, что нами введена мера углов и отрезков, отметим, что мера отрезков будет введена нами позже, в § . Ведем следующее определение.

Определение 16.6. Если под х понимается длина отрезка, а под j - величина угла, то зависимостьj = P(х), ставящая в соответствие длине отрезка величину его угла параллельности, называется функцией Лобачевского.

Ясно, что . Используя свойства угла параллельности отрезка, доказанные выше (см. теоремы 16.3 и 16.4), можно сделать следующий вывод: функция Лобачевского является монотонно убывающей. Николаем Ивановичем Лобачевским была получена следующая замечательная формула:

где k – некоторое положительное число. Оно имеет важное значение в геометрии пространства Лобачевского, и носит название его радиуса кривизны. Два пространства Лобачевского, имеющие один и тот же радиус кривизны, изометричны. Из приведенной формулы, как нетрудно видеть, также следует, что j = P(х) монотонно убывающая непрерывная функция, значения которой принадлежат интервалу .

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность w с центром в некоторой точке O и радиусом, равным единице, которую будем называть абсолютом . Множество всех точек круга, ограниченного окружностью w, обозначим через W¢, а множество всех внутренних точек этого круга - через W. Таким образом, . Точки множества W будем называть L‑точками Множество W всех L-точек составляет L-плоскость , на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть L‑прямыми произвольные хорды окружности w. Будем считать, что L-точка X принадлежит L‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.

L‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через L‑точку B, не лежащую на L‑прямой a проходят по крайней мере две L‑прямые b и c, не имеющие общих точек с L‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые L-плоскости. Рассмотрим рисунок 95. L-прямая b проходит через точку пересечения L-прямой a с абсолютом. Поэтому направленная L-прямая А 1 А 2 параллельна направленной L-прямой В 1 А 2 . Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные L-точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А 2 ВА пересекает прямую а. Таким образом, две L-прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения с абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности L-прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А 1 А 2 параллельна прямой В 1 А 2 , они пересекают абсолют в точке А 2 . Прямые В 1 А 2 и С 1 А 2 также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А 2 . Поэтому прямые А 1 А 2 и С 1 А 2 параллельны между собой.

Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I 1 -I 3 , II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.

Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.

Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии .

Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом:

Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходят ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы абсолютной геометрии). Так, например, сферическая геометрия и геометрия Римана , в которых любые две прямые пересекаются, и следовательно, не выполнена ни аксиома о параллельных Евклида, ни аксиома Лобачевского, не совместимы с абсолютной геометрией.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой , что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии , математики и науки вообще.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ #177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)

✪ Неевклидова геометрия. Часть 1. История математики

✪ Неевклидовы геометрии. Чуть-Чуть о Науке #Наука

✪ Общая теория относительности | гиперболическая геометрия | 1 | она же геометрия Лобачевского

✪ Неевклидова геометрия. Часть 2. История математики

Субтитры

История

Попытки доказательства пятого постулата

Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных . Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида . Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.

Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные.

Древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными).
Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец - начало вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию).
Иранские математики Омар Хайям (2-я половина - начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения).
Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника .
Немецкий математик Клавиус ().
Итальянские математики
- Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных).
- Борелли (), Дж. Витале ().
Английский математик Валлис ( , опубликовано в ) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).
Французский математик Лежандр () (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).

При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.

Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:

итальянский математик Саккери () (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),
немецкий математик Ламберт (около , опубликовано в ) (проведя исследования , он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание того, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:

немецкие математики Швейкарт () и Тауринус () (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

Создание неевклидовой геометрии

Лобачевский в работе «О началах геометрии» (), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи , а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям . Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:

Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет её «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.

В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).

Утверждение геометрии Лобачевского

В этих работах Бельтрами дал прозрачное геометрическое доказательство непротиворечивости новой геометрии, точнее того что геометрия Лобачевского противоречива тогда и только тогда когда противоречива геометрия Евклида. Лобачевский также располагал таким доказательством, но оно было сложнее, в одну сторону модель Евклидовой плоскости в геометрии Лобачевского, оно строилось с помощью модели как и у Бельтрами, в другую сторону шло аналитически.

ln ⁡ (A N A M B M B N) {\displaystyle \ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\right)}

Во внешней абсолюта, реализуется геометрия пространства анти-де Ситтера .

Конформно-евклидова модель

Другая модель плоскости Лобачевского, предложенная Бельтрами.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Поверхность постоянной отрицательной кривизны

Другое аналитическое определение геометрии Лобачевского состоит в том, что геометрия Лобачевского определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны. Это определение было фактически дано ещё в 1854 году Риманом и включало модель геометрии Лобачевского как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с геометрией Лобачевского, а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868 году).

Содержание геометрии Лобачевского

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию , к которой относятся, например, признаки равенства треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

Угол θ {\displaystyle \theta } между перпендикуляром PB из P на R и каждой из асимптотически параллельных (называемый углом параллельности ) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а , а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a) :

θ = Π (a) = 2 arctg ⁡ e − a q {\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\operatorname {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q}}}}

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они ультрапараллельны, то есть бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

Сумма углов всякого треугольника меньше π {\displaystyle \pi } и может быть сколь угодно близкой к нулю (разница между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна - её называют дефектом этого треугольника). Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ) {\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)} , где α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } - углы треугольника, пропорциональна его площади:

S = q 2 ⋅ δ {\displaystyle S=q^{2}\cdot \delta }

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: π q 2 {\displaystyle \pi q^{2}} .

Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой , или гиперциклом .

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью , или орициклом .

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера ; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π {\displaystyle \pi } не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π {\displaystyle \pi } ; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2 π {\displaystyle 2\pi } , и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

Заполнение плоскости и пространства правильными политопами

Плоскость Лобачевского может быть замощена не только правильными треугольниками , квадратами и шестиугольниками , но и любыми другими правильными многоугольниками . При этом в одной вершине паркета должно сходиться не менее 7 треугольников, 5 квадратов, 4 пяти- или шестиугольников, или 3 многоугольников с числом сторон более 6. То есть число различных замощений бесконечно и с помощью символа Шлефли (в одной вершине сходится M штук N -угольников) все замощения плоскости Лобачевского можно записать так:

{3, 7}, {3, 8}, …, то есть {3, M }, где M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, то есть {4, M }, где M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, то есть {5, M }, где M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, то есть {6, M }, где M ≥4;
{N, M}, где N ≥7, M ≥3.

Каждое замощение { N , M } {\displaystyle \left\{N,M\right\}} требует строго определённого размера единичного N -угольника, в частности, его площадь должна равняться:

S { N ; M } = q 2 π (N − 2 − 2 N M) {\displaystyle S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)}

В отличие от обычного пространства (трёхмерного евклидова пространства), которое можно заполнить правильными многогранниками только одним способом (по 8 кубов в вершине, или по четыре в ребре {4,3,4}), трёхмерное пространство Лобачевского можно замостить правильными многогранниками , как и на плоскости, бесконечным количеством способов. С помощью символа Шлефли { N , M , P } {\displaystyle \left\{N,M,P\right\}} (в одной вершине сходится M штук N -угольников, а в каждом ребре сходится по P многогранников) все замощения можно записать так: [ ]

{3,3,6}, {3,3,7}, …, то есть {3,3,P }, где P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, то есть {4,3,P }, где P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, то есть {3,4,P }, где P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. То есть {5,3,P }, где P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, то есть {3,5,P }, где P ≥3.

Многогранники таких разбиений могут иметь бесконечный объём, за исключением конечного числа разбиений пространства на правильные многогранники с конечным объёмом:

{3,5,3} (по три икосаэдра в ребре)
{4,3,5} (по пять кубов в ребре)
{5,3,4} (по четыре додекаэдра в ребре)
{5,3,5} (по пять додекаэдров в ребре)

Кроме этого, существует 11 способов заполнить пространство Лобачевского правильными мозаичными орисферами ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, {4,4,3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,6,3}). [ ]

Приложения

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}} при делении на t 2 {\displaystyle t^{2}} , то есть для скорости света, даёт v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 {\displaystyle v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}} - уравнение сферы в пространстве с координатами v x {\displaystyle v_{x}} , v y {\displaystyle v_{y}} , v z {\displaystyle v_{z}} - составляющими скорости по осям х , у , z (в «пространстве скоростей»).

Еще более глубокое изучение вопроса приведет нас к такому понятию, как кривизна пространства . Не вдаваясь в подробности, обратим внимание лишь на то, что поверхность может быть искривлена в каждой точке двумя качественно различными способами. В одном случае поверхность напоминает часть эллипсоида, и кривизна считается положительной. В другом случае поверхность похожа на седло, и ее кривизна отрицательна. Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности). Это, кстати, проясняет происхождение названия «псевдосфера»: обычная сфера является поверхностью с постоянной положительной кривизной.

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией . Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля.

ОТО подверглась многочисленным экспериментальным проверкам (см.: Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции , «Элементы», 25.11.2015), а поправки, связанные с ней, приходится учитывать для точной спутниковой навигации. Кроме того, ей описывается физика массивных объектов, таких как обычные и нейтронные звезды, сверхновые и черные дыры (список можно продолжать). Наконец, ОТО лежит в основе современной науки о Вселенной - космологии .

Согласно здравому смыслу, а также всем имеющимся наблюдательным данным, Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна. Это в любом случае означает, что она является пространством постоянной пространственной кривизны. В связи с этим с самых первых лет космологии рассматривались три возможности : плоская Вселенная, Вселенная положительной кривизны («сферическая Вселенная») и Вселенная отрицательной кривизны («Вселенная Лобачевского»). На данный момент, правда, считается, что кривизна Вселенной нулевая (в пределах современной точности измерений). Это находит объяснение в современной теории инфляции . Согласно последней, Вселенная в начальной стадии своей эволюции испытывала очень быстрое расширение и в результате увеличилась во много раз (это и называется инфляцией). Вполне возможно, что до инфляции Вселенная была сферической, «Вселенной Лобачевского» или имела какую-то другую сложную геометрию. Однако расширение привело к тому, что сейчас наблюдениям доступна лишь очень малая часть всей Вселенной, и ее геометрия должна быть неотличима от плоской.

Мы привыкли думать, что геометрия наблюдаемого мира евклидова, т.е. в нем выполняются законы той геометрии, которая изучается в школе. На самом деле это не совсем так. В этой статье мы рассмотрим проявления в реальности геометрии Лобачевского, которая, на первый взгляд, является сугубо абстрактной.

Геометрия Лобачевского отличается от привычной евклидовой тем, что в ней через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Ее также называют гиперболической геометрией.

1. Евклидова геометрия — через белую точку проходит только одна прямая, которая не пересекает желтую прямую
2. Геометрия Римана — любые две прямые пересекаются (не существует параллельных прямых)
3. Геометрия Лобачевского — существует бесконечно много прямых не пересекающих желтую линию и проходящих через белую точку

Для того, чтобы читатель мог это себе наглядно представить, кратко опишем модель Клейна. В этой модели плоскость Лобачевского реализуется как внутренность круга радиуса один, где точками плоскости являются точки этого круга, а прямыми — хорды. Хорда — прямая, соединяющая две точки окружности. Расстояние между двумя точками определяется достаточно сложно, но оно нам не понадобится. Из рисунка выше становится понятно, что через точку Р проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую а. В стандартной Евклидовой геометрии, существует лишь одна прямая проходящая через точку Р и не пересекающая прямую а. Эта прямая является параллельной.

Теперь перейдем к главному — практическим применениям геометрии Лобачевского.

Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) — (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.

Читателю наверняка известно, что, благодаря эффекту в Специальной теории относительности, из-за большой скорости спутника время на орбите идет отлично от времени на Земле. Но еще есть подобный эффект в Общей теории относительности, связанный как раз с неевклидовой геометрией пространства-времени. Опять же не будем вдаваться в математические подробности поскольку они довольно таки абстрактные. Но, если перестать учитывать эти эффекты, то уже за сутки работы в показаниях навигационной системы накопится ошибка порядка 10 км.

Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Приведем побольше примеров:

Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее. Кстати, если вы помните в прошлом выпуске мы рассказывали о шестиугольниках в природе, так вот, в гиперболической природе альтернативой являются семиугольники, которые также широко распространены.