Однофазные цепи. Однофазные электрические цепи

Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?

Федеральное агентство по образованию РФ

Курчатовский филиал

Курского государственного политехнического колледжа

по дисциплине: "Электротехника"

на тему: "Электрические цепи переменного тока"

Работу выполнил:

Асеев Евгений Сергеевич

студент 2 курса специальности

"Атомные станции и установки"

Проверил: Горлов А.Н.

Курчатов

Введение

Принцип получения переменной ЭДС. Действующее значение тока и напряжения

Метод векторных диаграмм

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Цепь переменного тока с разной нагрузкой

Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость

Резонанс напряжений и токов

Проводимость и расчет электрических цепей

Введение

До конца 19 века использовались только источники постоянного тока – химические элементы и генераторы. Это ограничивало возможности передачи электрической энергии на большие расстояния. Как известно, для уменьшения потерь в линиях электропередачи необходимо использовать очень высокое напряжение. Однако получить достаточно высокое напряжение от генератора постоянного тока практически невозможно. Проблема передачи электрической энергии на большие расстояния была решена только при использовании переменного тока и трансформаторов.

1. Принцип получения переменной ЭДС

Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.

В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.

В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.

Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.

Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью ω рамка площадью S .(рис. 1).

Магнитный поток через рамку будет равен:

Ф=BS cosα (1.1)

где α – угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки ω= α/t, то угол α будет изменяться по закону α= ω t и формула(1.1) примет вид:

Ф=BScosωt (1.2)

Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:

Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)

где Е0 = BSω – амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.

Величину ωt = 2πt/Т = 2πft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.

Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).

Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии – 60 Гц).

Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 – 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.

Действующие значения тока и напряжения

Для описания характеристик переменного тока необходимо избрать определённые физические величины. Мгновенные и амплитудные значения для этих целей неудобны, а средние значения за период равны нулю. Поэтому вводят понятие действующих значений тока и напряжения. Они основаны на тепловом действии тока, не зависящем от его направления.

Действующими значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе. Найдем соотношение между действующими и амплитудными значениями.

В активном сопротивлении R при постоянном токе I за период постоянного тока T по закону Джоуля-Ленца выделится следующее количество теплоты:

При переменном токе i в том же сопротивлении R за бесконечно малый промежуток времени dt выделится следующее количество теплоты:

dQ = i Rdt (1.5)

где мгновенное значение тока i определяется формулой:

i = I0sinωt (1.6)

Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:

Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:

Второй интеграл равен нулю, поскольку это интеграл от периодической функции за один период. Приравняв, согласно определению (1.4) и (1.8), получим:

Таким образом, действующее значение переменного тока в √2 раз меньше его амплитудного значения. Аналогично вычисляются действующие значения напряжения и ЭДС:

U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)

Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.

2. Метод векторных диаграмм

Метод векторных диаграмм – то есть изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен.

Переменный ток, в отличие от постоянного, характеризуется двумя скалярными величинами – амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объектов – это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.

При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе. Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.

Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.

3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Рассмотрим цепь (рис. 3), в котором к активному сопротивлению (резистору) приложено синусоидальное напряжение:

U (t) = U0sin ωt (1.11)

Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:

I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)

Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:

Выясним, как изменяется со временем мощность в цепи переменного тока с резистором. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)

Из этой формулы мы видим, что мгновенная мощность всегда положительна и пульсирует с удвоенной частотой (рис. 5):

Это означает, что электрическая энергия необратимо превращается в теплоту независимо от направления тока в цепи.

Вычислим среднее значение мощности за период:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R

поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.

Мы видим, что в цепи с резистором вся электрическая энергия необратимо превращается в тепловую энергию. Те элементы цепи, на которых происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (не только в тепловую), называются активными сопротивлениями. Поэтому резистор представляет собой активное сопротивление.

Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):

Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:

U + eL = 0 (1.15)

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

eL = −LdI/dt (1.16)

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)

где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:

I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)

где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:

I = U/ ωL= U/ XL (1.20)

Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.

Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные - возврату запасенной энергии обратно источнику.

Средняя за период мощность равна:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.

5. Цепь переменного тока с разной нагрузкой

Цепь переменного тока с активно-индуктивной нагрузкой

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 9), в котором через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток:

I = I0 sin ωt (1.23)

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:

U = UL+UR (1.24)

Напряжение на резисторе, как показано выше, совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.25)

а напряжение на индуктивности равно ЭДС самоиндукции со знаком “минус” (по второму правилу Кирхгофа):

UL = L(dI/dt)= I0 ωLcos ωt = U0Lsin(ωt + π/2) (1.26)

где U0L= I0 ωL (1.27)

Напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Переходя к формуле (1.27) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

I = UL/XL (1.28)

Это закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью (т.е. не обладающей активным сопротивлением), а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением. Построив векторы I, UR и UL и воспользовавшись формулой (1.24), мы найдем вектор U.

U= √ UR + UL = √ I R + I (ωL) = I√ R + (ωL) = IZ (1.29)

где величина

Z = √ R + (ωL) (1.30)

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UL/ UR = ωL/ R (1.31)

В данной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и L и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Теперь рассмотрим как изменяется со временем мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

U(t) = U0 sin ωt (1.32)

I(t) = I0 sin(ωt − φ)

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt − φ)=(I0 U0/2) = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ − (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.33)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое - активная, и второе - реактивная (индуктивная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

Pср = 1/T ∫ pdt = (I0 U0/2T) cosφ ∫dt − (I0 U0/2T) cosφ ∫ cos2ωt dt −

−(I0 U0/2T) sin φ ∫ sin2ωt dt = (I0 U0/2) cosφ (1.34)

Цепь переменного тока с емкостью

Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение (1.11) приложено к емкости С (рис. 11). Мгновенное значение тока в цепи с емкостью равно скорости заряда на обкладках конденсатора:

I = dq/dt (1.35)

но, т.к. q = CU, то

I = C (dU/dt) = ωCU0 cos ωt = I0 sin (ωt + π/2) (1.36)

ωCU0 = I0 (1.37)

В этой цепи ток опережает напряжение на π/2. Переходя в формуле (1.37) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

I0 = U/Xc (1.38)

Это закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, а величина

Xc= 1/ωC называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рис. 12.

Найдем мгновенную и среднюю мощность в цепи, содержащей емкость. Мгновенная мощность равна:

p(t)= i(t) u(t) = I0U0 sin (ωt + π/2) sin ωt = IUsin2 ωt (1.39)

Мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой (рис. 13). При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные - его разряду и возврату запасенной энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = IU/T ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.40)

т.к. в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а проходит обмен электрической энергией между конденсатором и источником.

Цепь переменного тока с активно-емкостной нагрузкой

Реальная цепь переменного тока с емкостью всегда содержит активное сопротивление - сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.п. Рассмотрим реальную цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и активного сопротивления R (рис. 14). В этой цепи протекает ток I = I0 sin ωt .

В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма напряжений на резисторе и на емкости равна приложенному напряжению:

U = UR + UC (1.41)

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.42)

а напряжение на конденсаторе отстает от тока:

UC = U0C sin (ωt − π/2) (1.43)

Построив векторы I,UR и UC и воспользовавшись формулой (1.41), найдем вектор U. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рисунке 15.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен

U =√ UR + UC =√ I R + I (1/ωC) = I √ R + (1/ωC) = IZ1 (1.44)

где величина

Z1=√ R + (1/ωC) (1.45)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UC/ UR = (1/ωC)/ R (1.46)

В рассмотренной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и C и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Рассмотрим теперь, как изменяется со временем мощность в цепи с активно – емкостной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

U (t) = U0 sin ωt

I (t) = I0 sin (ωt + φ) (1.47)

Тогда мгновенное значение мощности равно:

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt + φ)=(I0 U0/2) = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ + (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.48)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое - активная, а второе - реактивная (емкостная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

Pср =1/T ∫ pdt = I0U0/2T cosφ ∫ dt − I0U0/2T cosφ ∫ cos2 ωtdt + I0U0/2T ∙

sin φ ∫ sin2ωt dt = I0U0/2T cosφ (1.49)

и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.

6. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость

Теперь рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 16).

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:

U = UL + UC + UR (1.50)

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2, а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на π/2. Можно записать эти напряжения в следующем виде:

UR = U0R sin ωt = I0R sin ωt

UL = U0Lsin (ωt + π/2) = I0 ωL (ωt + π/2) (1.51)

UC = U0C sin (ωt − π/2) = (I0/ωC) sin (ωt − π/2)

Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор U (рис. 17)

Из полученной векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения U и сдвиг по фазе φ между током и напряжением:

U = √ UR + (UL − UC) = I √ R +(ωL− 1/ωC) = IZ (1.52)

Z = √ R +(ωL− 1/ωC) (1.53)

называется полным сопротивлением цепи. Из диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением:

tg φ =(UL − UC)/ UR = (ωL− 1/ωC)/R (1.54)

В результате построения диаграммы мы получили треугольник напряжений, гипотенуза которого равна приложенному напряжению U. При этом разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов UL, UC и UR. При UL > UC (рис. 17) угол φ положителен и нагрузка имеет индуктивный характер. При UL < UC угол φ отрицателен и нагрузка имеет емкостный характер (рис. 18, а). А при

UL = UC угол φ равен нулю и нагрузка является чисто активной (рис. 18, б).

Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 17) на значение тока в цепи, получим треугольник сопротивлений (рис. 19, а), в котором R ─ активное сопротивление, Z ─ полное сопротивление, а x = xL−xC ─ реактивное сопротивление. Кроме того,

R = Zcosφ; x = Zsinφ (1.55)

Умножив стороны треугольника напряжений на значение тока в цепи, получим треугольник мощностей (рис. 19, б). Здесь S ─ полная мощность, Q ─ реактивная мощность и P ─ активная мощность. Из треугольника мощностей следует:

S = IU = √P + Q ; Q = Ssin φ ; P = S cos φ = IU cos φ (1.56)

Реактивная мощность Q всегда связана с обменом электрической энергией между источником и потребителем. Ее измеряют в вольт – амперах реактивных (Вар).

Полная мощность S содержит в себе как активную, так и реактивную составляющие - это мощность, которая потребляется от источника электроэнергии. При P = 0 вся полная мощность становится реактивной, а при Q = 0 ─ активной. Следовательно, составляющие полной мощности определяются характером нагрузки. Полная мощность измеряется в вольт – амперах (ВА). Эта величина указывается на табличках приборов переменного тока.

Активная мощность P связана с той электрической энергией, которая может быть преобразована в другие виды энергии - теплоту, механическую работу и т.д. Она измеряется в Ваттах (Вт). Активная мощность зависит от тока, напряжения и cos φ. При увеличении угла φ уменьшается cos φ и мощность P, а при уменьшении угла φ активная мощность P возрастает. Таким образом, cos φ показывает, какая часть полной мощности теоретически может быть преобразована в другие виды энергии. cos φ называют коэффициентом мощности.

Для более рационального использования мощности переменного тока, вырабатываемого источниками электрической энергии, стараться сделать нагрузку такой, чтобы cos φ в цепи был близок к единице. На практике, в масштабах предприятия добиться этого довольно трудно и хорошим показателем является cos φ =0,9 - 0,95.

При низких значениях cos φ возникают дополнительные потери на нагревание проводника.

Предположим, что одинаковые активные мощности передаются при одинаковом напряжении к двум равным нагрузкам с cos φ0 =1 и cos φ1 <1. Тогда

I0U cos φ0 = I1U cos φ1 (1.57)

I1 = I0 / cos φ1 (1.58)

Мощность, которая расходуется на нагревание проводов равна

P1 = I1 R = I0 R / cos φ1 (1.59)

то есть потери на нагревание проводов обратно пропорциональны квадрату коэффициента мощности. Так и должно быть, потому что реактивная мощность создает в проводах дополнительный реактивный ток, а потери на нагревание проводов пропорциональны квадрату тока. Поэтому повышение cos φ имеет большое практическое значение.

7. Резонанс напряжений и токов

Резонанс напряжений

Когда напряжения на индуктивности и емкости UL и UC , взаимно сдвинутые по фазе на 180 , равны по величине, то они полностью компенсируют друг друга (рис. 18, б). Напряжение, приложенное к цепи, равно напряжению на активном сопротивлении, а ток в цепи совпадает по фазе с напряжением. Этот случай называется резонансом напряжений.

Условием резонанса напряжений является равенство напряжений на индуктивности и емкости или равенство индуктивного и емкостного сопротивлений цепи:

xL = xC или ωL = 1/ωC (1.60)

При резонансе напряжений ток в цепи равен

I = U/√R + 0 = U/R (1.61)

то есть, цепь в данном случае имеет наименьшее возможное сопротивление, как будто в нее включено только активное сопротивление R. Ток в цепи при этом достигает максимального значения.

При резонансе напряжения на реактивных сопротивлениях xL и xC могут заметно превышать приложенное к цепи напряжение. Если мы возьмем отношение приложенного напряжения к напряжению на индуктивности (или емкости), то получим

U/ UL = IZ/I xL = Z/ xL или UL = U xL /R (1.62)

то есть напряжение на индуктивности будет больше приложенного напряжения в xL /R раз. Это значит, что при резонансе напряжений на отдельных участках цепи могут возникнуть напряжения, опасные для изоляции приборов, включенных в данную цепь. Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений показана на рис. 18 б.

Если в последовательной цепи, содержащей активное сопротивление, индуктивность и емкость изменять величину одного из элементов цепи (например, емкости) при неизменном приложенном напряжении, то будут изменяться многие величины, характеризующих ток в цепи. Кривые, показывающие как меняются ток, напряжение, называются резонансными. Резонансные кривые при изменении емкости показаны на рисунке 20.

Резонанс токов

В отличие от последовательных цепей переменного тока, где ток, протекающий по всем элементам цепи одинаков, в параллельных цепях одинаковым будет напряжение, приложенное к параллельно включенным ветвям цепи.

Рассмотрим параллельное включение емкости и ветви, состоящей из индуктивности и активного сопротивления (рис. 21).

Обе ветви находятся под одним и тем же приложенным напряжением U. Построим векторную диаграмму для этой цепи. В качестве основного вектора выберем вектор приложенного напряжения U (рис. 22).

Затем найдем длину вектора I1 из соотношения

I1 = U/z1 = U/√R1 + xL (1.63)

и отложим этот вектор по отношению к вектору U под углом φ1 , который определяется по формуле

tg φ1 = xL/ R1 (1.64)

Полученный таким образом вектор тока I1 разложим на две составляющие: активную Iа1 = I1 cos φ1 и реактивную Ip1 = I1 sin φ1 (рис. 22).

Величину вектора тока I2 находим из соотношения

I2 = U/ xC = U/(1/ωC) = ωCU (1.65)

и откладываем этот вектор под углом 90 против часовой стрелки относительно вектора приложенного напряжения U.

Общий ток I равен геометрической сумме токов I1 и I2 или геометрической сумме реактивного тока Ip1 − I2 =IL − IC и активного тока Iа1. длина вектора I равна

I = √(IL − IC) +(Iа1) (1.66)

Сдвиг по фазе между общим током I и приложенным напряжением U можно определить из соотношения

tgφ =(IL − IC)/ Iа1 (1.67)

Из векторной диаграммы видно, что длина и положение вектора общего тока зависят от соотношения между реактивными токами IL и IC. В частности, при IL > IC общий ток отстает по фазе от приложенного напряжения, при IL < IC ─ опережает его, а при IL = IC ─ совпадает с ним по фазе. Последний случай (IL = IC) называется резонансом токов. При резонансе токов общий ток равен активной составляющей тока в цепи, то есть происходящие в цепи процессы таковы, как будто в ней содержится только активное сопротивление (в этом случае φ = 0 и cos φ = 1). При резонансе общий ток в цепи принимает минимальное значение и становится чисто активным, тогда как реактивные токи в ветвях не равны нулю и противоположны по фазе.

Если в параллельной цепи, изображенной на рисунке 21, изменять величину емкости при неизменном приложенном напряжении, то будут изменяться многие величины, характеризующие ток в цепи. Кривые, показывающие как изменяются ток, напряжения на участках цепи и сдвиг по фазе между током и напряжением, называются резонансными.

Основные определения

Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени.
Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей.
Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i .
Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени

Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом.
Период синусоидальными .
Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле

Аргумент синусоидальной функции называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах. где Im- максимальное, или, значение тока.

Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз

С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения.
Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения.
Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений

.Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз.
Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений.
Закон Ома для мгновенных значений:

Законы Кирхгофа для мгновенных значений:

Участок цепи, содержащий активное сопротивление

Соотношение может быть записано для действующих значений

Соотношение показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме и на комплексной плоскости.

11) Явление, возникающее в неразветвленной цепи с элементами L, R, C , когда полное напряжение и ток совпадают по фазе, называется резонансом напряжений .

Условие резонанса напряжений: Х L = Х C или

(Х L > Х C ) В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью P и положительной реактивной мощностью Q > 0. Положительное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность больше емкостной, т.е. индуктивный элемент преобладает над емкостным элементом.. В этом режиме характер цепи называют активно–индуктивным.

При Х L < Х C реактивное сопротивление всей цепи отрицательно/ В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью P и отрицательной реактивной мощностью Q <0. Отрицательное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность меньше емкостной, т.е. емкостный элемент преобладает над индуктивным элементом. В этом режиме характер цепи называют активно–емкостным.

Признаком резонанса напряжений в цепи является максимальное значение тока и активной мощности . Резонанс напряжений используется в радиотехнических цепях при построении схем резонансных фильтров. При этом свойства цепи оказываются различными для сигналов разных частот.

12-13)

14)

Вопрос 15 . Мощности однофазных цепей синусоидального тока. Мощности при резонансе токов и резонансе напряжений.
Мгновенная мощность при последовательном соединении R, L, C – элементов.

Среднее значение мощности определяет активную мощность:
ед. измерения – Вт.
Активная мощность определяется мощностью резистора
Полная мощность равна произведению действующих значений тока и полного напряжения
Единица полной мощности – ВА, кВА, МВА
Соотношение активных и полных мощностей:

cosφ – коэффициент мощности
Графически соотношение активной и полной мощности отображается:

Из треугольника мощностей: P= S*cosφ

Q=Q L -Q C =X L * I 2 –X C * I 2
Для цепи с параллельным соединением проводников:

, где

G = G1+G2 – активная проводимость цепи равна активной проводимости ветвей
B=B L 1 -B C 2 - реактивная проводимость цепи равна разности индуктивной и емкостной
Мощность при резонансе токов (параллельное соединение приемников)
B L 1 = B C 2 , B=0, I L 1 =I C 2 , I p =0 , φ=0
Цепь имеет активный характер. Резонанс токов – явление возникающее в разветвленной цепи с элементами L,R,C , когда полный ток цепи и приложенное напряжение совпадают по фазе.
Реактивная мощность в режиме резонанса Q=Q L -Q C =0; S=p

Мощность при резонансе напряжений (последовательное соединение)
Резонанс токов – явление возникающее в неразветвленной цепи с элементами L,R,C , когда полный ток цепи и приложенное напряжение совпадают по фазе.
При X C =X L реактивное сопротивление Х = (X L – X C) = 0
В соответствии с законом Ома

Разность фаз равна нулю ( =0)
Треугольник мощностей и треугольник напряжений становятся отрезком, цепь характеризуется активной мощностью P, реактивная мощность Q равна нулю. P=S=U*I
cos

Вопрос 16 . Трехфазные токи. Общие понятия. Соединение фаз трехфазного источника питания звездой, треугольником.
Трехфазная цепь – это совокупность трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС, одинаковые по амплитуде и частоте, сдвинутые по фазе одна от другой на угол 2π/3=120 о и создаваемые общим источником энергии.
каждую цепь, входящую в трехфазную цепь принято называть фазой. Каждая фаза имеет стандартное наименование первая фаза – фаза А, вторая – фаза В, третья – фаза С. Начала фаз соответственно А, В, С, а концы Х, Y, Z.
Основные элементы трехфазной цепи:
Трехфазный генератор, преобразующий механическую энергию в электрическую
Линии электропередач,
Приемники (потребители), которые могут быть трехфазными (напр. Асинхр. Двиг.), так и однофазными (лампа накаливания).
Соединение «Звезда»

Концы Х, Y, Z в общую точку генератора N (нейтраль), а x,y,z концы приемников в нейтральную точку приемника n. A-a, B-b, C-c – линейные провода, N-n –нейтральный провод.
Каждая фаза представляет собой электрическую цепь.
Соединение «треугольник»

конец X одной фазы соед. С началом В фазы, конец Y второй с началом С третьей, конец Z третьей с началом А первой.
Каждая фаза представляет собой электрическую цепь, в которой приемник подключен к соответствующей фазе посредством двух линейных. Используется еще меньше проводов. В «треугольнике» фазы именуют двумя символами, в соответствии с линейными проводами, к которым фаза подключена: фаза «ab», «bc», «ca». Параметры обозначают в соответствии с индексами.

Вопрос 17 . Схема четырехпроводной и трехпроводной трехфазной системы, соединенной звездой. Расчет, векторная диаграмм

Трехпроводная трехфазная система

Четырехпроводная трехфазная система

Расчет

Напряжение фазного и линейного тока.

Ток в фазных приемниках определяем по закону Ома

Ток в нейтральном проводе работает первым законом Кирхгофа

векторная диаграмма

Ток каждой фазы отстает на угол φ и имеет одинаковое значение.

Ток в нейтральном проводе
При соединении фаз симметричного приемника нейтральный провод не оказывает никакого влияния, его можно исключить.
Трехфазная цепь с симметричной нагрузкой без нейтрального провода обозначается , с нейтральным проводом называется четырехпроводной и обозначается

Вопрос 18 . Соединение трехфазных приемников энергии треугольником. Расчет, векторная диаграмма.

Нейтральная точка в такой цепи не используется и нейтрального провода в такой цепи нет.
Напряжение между концом и началом фазы – это напряжение между линейными проводами. U Л =U Ф
Пренебрегая линейным сопротивлением линейных проводов, линейные нарпяжение можно приравнять линейным нарпяжениям источника питания:

токи в фазах опред. По закону Ома.

При соединении треугольником фазные токи не равны линейным, их находим по первому закону Кирхгофа.

Симметричная нагрузка

Абсолютные значения их равны, а сдвиги по фазе равны 120 градусов.
Векторная диаграмма:

Соотношение между линейными и фазными токами:

При несимметричной нагрузке:

Векторная диагрмма:

При изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остается неизменным, т.к. режим работы генератора остается неизменным. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии соединенных с этой фазой.

Вопрос19
Силовой трансформатор - это электрический аппарат, который предназначен для преобразования электрической энергии одного значения напряжения в электрическую энергию другого значения напряжения. Трансформаторы бывают:

· в зависимости от количества фаз: однофазные и трехфазные;

· по количеству обмоток: двухобмоточные и трехобмоточные;

· в зависимости от места их установки: наружной и внутренней установки;

· по назначению: понижающие и повышающие;

Принцип работы любого силового трансформатора основан на законе электромагнитной индукции. Если к обмотке данного устройства подключить источник переменного тока, то по виткам этой обмотки будет протекать переменный ток, который создаст в магнитопроводе трансформатора переменный магнитный поток. Замкнувшись в магнитопроводе, переменный магнитный поток будет индуктировать электродвижущую силу (ЭДС) в другой обмотке трансформатора. Это объясняется тем, что все обмотки трансформатора намотаны на один магнитопровод, то есть они связаны между собой магнитной связью. Значение индуктируемой ЭДС будет пропорционально количеству витков данной обмотки.

Вопрос 20
Трансформатор – статический электромагнитный аппарат для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения, той же частоты. Трансформаторы применяют в электрических цепях при передаче и распределении электрической энергии, а также в сварочных, нагревательных, выпрямительных электроустановках и многом другом.

Трансформаторы различают по числу фаз, числу обмоток, способу охлаждения. В основном используются силовые трансформаторы, предназначенные для повышения или понижения напряжения в электрических цепях.

Первичную обмотку включают в сеть с переменным напряжением, её намагничивающая сила i1n1 создает в магнитопроводе переменный магнитный поток Ф, который сцеплен с обеими обмотками и в них индуцирует ЭДС e 1 = -n 1 dФ/dt, e 2 = -n 2 dФ/dt. При синусоидальном изменении магнитного потока Ф = Фm sinωt , ЭДС равно e = Em sin (ωt-π/2). Для того чтобы посчитать действующее значение ЭДС нужно воспользоваться формулой E=4.44 f n Фm, где f- циклическая частота, n – количество витков, Фm – амплитуда магнитного потока. Причем если вы хотите посчитать величину ЭДС в какой либо из обмоток, нужно вместо n подставить число витков в данной обмотке.

Из приведенных выше формул можно сделать вывод о том, что ЭДС отстает от магнитного потока на четверть периода и отношение ЭДС в обмотках трансформатора равно отношению чисел витков E1/E2=n1/n2.

Если вторая обмотка не находится под нагрузкой, значит трансформатор находится в режиме холостого хода. В этом случае i 2 = 0, а u 2 =E 2 , ток i 1 мал и мало падение напряжения в первичной обмотке, поэтому u 1 ≈E 1 и отношение ЭДС можно заменить отношением напряжений u 1 /u 2 = n 1 /n 2 = E 1 /E 2 = k. Из этого можно сделать вывод, что вторичное напряжение может быть меньше или больше первичного, в зависимости от отношения чисел витков обмоток. Отношение первичного напряжения ко вторичному при холостом ходе трансформатора называется коэффициентом трансформации k.

Как только вторичная обмотка подключается к нагрузке, в цепи возникает ток i2, то есть совершается передача энергии от трансформатора, который получает ее из сети, к нагрузке. Передача энергии в самом трансформаторе происходит благодаря магнитному потоку Ф.

Под углом  2 , который находим по формуле Внешние характеристики трансформатора: 1 – нагрузка активно-емкостная; 2 –чисто активная; 3 – активно-индуктивная; 4 – внешняя характеристика сварочного трансформатора

Вопрос 23

Коэффициент полезного действия трансформатора определяется по формуле

где P 2 – мощность, отдаваемая (полезная) вторичной обмоткой; P 1 – мощность подведенная (затраченная) к первичной обмотке.

Разность между подведенной и отдаваемой мощностями является потерями мощности:

24) режим и опыт короткого замыкания трансформатора

Режимом короткого замыкания называется режим, при котором вторичная обмотка замкнута накоротко. Если при опыте холостого хода определяются потери в сердечнике трансформатора, то при опыте короткого замыкания определяются потери в обмотках трансформатора. На первичную обмотку трансформатора подается напряжение такой величины, при которой ток в первичной цепи равен номинальному. При этом измеряется мощность, потребляемая трансформатором из сети, напряжение, ток (рис.1.22):

Величина Uк составляет 5-10% номинального напряжения. Так как поток прямо пропорционален напряжению питания трансформатора, а потери в сердечнике пропорциональны квадрату потока, то в режиме короткого замыкания потерями в сердечнике можно пренебречь. Током холостого хода также пренебрегают, так как его величина незначительна по сравнению с Iном . Поэтому gn и bф в схеме замещения трансформатора в режиме короткого замыкания отсутствуют.

В опыте короткого замыкания однофазного трансформатора вторичная обмотка закорачивается накоротко, то есть Zн=0, а напряжение вторичной обмотки U2=0. При этом напряжение первичной обмотки подводится пониженным, для того чтобы, не повредить трансформатор.

Схема опыта короткого замыкания

В опыте короткого замыкания определяют следующие параметры:

1 – Номинальное напряжение короткого замыкания Uk . Это напряжение первичной обмотки, при котором значения токов короткого замыкания в обмотках равны номинальным. Выражается в процентном соотношении от номинального напряжения U1н.

2 – Параметры схемы замещения . Так как ветви намагничивания при опыте короткого замыкания нет, то ток в первичной обмотке, равен току во вторичной.

Следовательно, полное сопротивление короткого замыкания можно определить как

3 – Сопротивления вторичной обмотки

4 – Полное падение напряжения короткого замыкания Uk в обмотках и его активную и реактивную составляющую в %

27 В обмотке статора, включенной в сеть трехфазного тока, под действием напряжения возникает переменный ток, который создает вращающееся магнитное поле. Магнитное поле пересекает проводники обмотки ротора и наводит в них переменную эдс, направление которой определяется по правилу правой руки. Поскольку обмотка ротора замкнута, эдс вызывает в ней ток того же направления. В результате взаимодействия тока ротора с вращающимся магнитным полем(на основании закона Ампера) возникает сила, действующая на проводник ротора, направление которой определяется по правилу левой руки. Сила создает момент, действующий на туже сторону. Под действием момента ротор приходит в движение и после разбега вращается в том же направлении, что и магнитное поле, с несколько меньшей частотой вращения чем поле:

В настоящее время практически все электроприводы представляют собой нерегулируемые приводы с асинхронными двигателями. Они нашли широкое применение в теплоснабжении, водоснабжении, системах кондиционирования и вентиляции, компрессорных установках и других сферах. Благодаря плавному регулированию скорости вращения, в большинстве случаев можно отказаться от дросселей, вариаторов, редукторов и прочих регулирующих устройств, что существенно упрощает механическую систему, уменьшает расходы на ее эксплуатацию и повышает надежность.

26) Режимом холостого хода трансформатора называют режим работы при питании одной из обмоток трансформатора от источника с переменным напряжением и при разомкнутых цепях других обмоток. Такой режим работы может быть у реального трансформатоpa, когда он подключен к сети, а нагрузка, питаемая от его вторичной обмотки, еще не включена. По первичной обмотке трансформатора проходит ток I0, в то же время во вторичной обмотке тока нет, так как цепь ее разомкнута. Ток I0, проходя по первичной обмотке, создает в магнитопроводе синусоидально изменяющийся лоток Ф0, который из-за магнитных потерь отстает по фазе от тока на угол потерь δ.

Векторная диаграмма трансформатора.

Векторная диаграмма работающего в режиме холостого хода трансформатора (рис. 2.6) построена на основании уравнения (1.4). С нулевой начальной фазой выбран магнитный поток, т.е. . Ток Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение u1, приложенное к первичной цепи уравновешивается противо ЭДС рабочего магнитного потока первичной обмотки- e1, ЭДС рассеяния - и падением напряжения в проводах.

(5.4)

Для вторичной цепи - напряжение на нагрузке u2 немного меньше ЭДС е2 вследствие влияния ЭДС рассеяния и падения напряжения в проводниках вторичной обмотки.

(5.5)

Следует отметить, что ЭДС рассеяния обмоток ер1, и ер2, а так же падение напряжения i1r1 и i2r2 в десятки раз меньше по величине чем соответствующее ЭДС рабочего магнитного потока е1 и е2. Поэтому часто можно считать U1≈ - E1 и U2≈ E2.

(5.6)

(5.7)

Как видно, э.д.с. e1 и e2 отстают по фазе от магнитного потока на . Разделив и на и учитывая, что получим

Одним из средств изучения работы трансформатора является эквивалентная схема замещения , в которой магнитная связь между обмотками трансформатора замещена электрической связью, а параметры вторичной обмотки приведены к числу витков первичной.

©2015-2017 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Федеральное агентство по образованию РФ

Курчатовский филиал

Курского государственного политехнического колледжа

по дисциплине: "Электротехника"

на тему: "Электрические цепи переменного тока"

Работу выполнил:

Асеев Евгений Сергеевич

студент 2 курса специальности

"Атомные станции и установки"

Проверил: Горлов А.Н.

Курчатов

Введение

Принцип получения переменной ЭДС. Действующее значение тока и напряжения

Метод векторных диаграмм

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Цепь переменного тока с разной нагрузкой

Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость

Резонанс напряжений и токов

Проводимость и расчет электрических цепей

Введение

1 . Принцип получения переменной ЭДС

Магнитный поток через рамку будет равен:

Ф=BS cosα (1.1)

Ф=BScosωt (1.2)

Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)

Действующие значения тока и напряжения

dQ = i Rdt (1.5)

где мгновенное значение тока i определяется формулой:

i = I0sinωt (1.6)

Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:

Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:

U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)

Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.

2. Метод векторных диаграмм

3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

U (t) = U0sin ωt (1.11)

Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:

I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)

Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:

p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)

Вычислим среднее значение мощности за период:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R

поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.

U + eL = 0 (1.15)

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

eL = −LdI/dt (1.16)

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)

I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)

где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:

I = U/ ωL= U/ XL (1.20)

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Средняя за период мощность равна:

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.

5. Цепь пере менного тока с разной нагрузкой

Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

Аналитический способ

i(t) = I m sin(ωt + ψ i),

для напряжения

u(t) = U m sin (ωt +ψ u),

e(t) = E m sin (ωt +ψ e),

В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

I m , U m , E m – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψ i , ψ u , ψ e – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.

Величины i, I m – измеряются в амперах, величины U, U m , e, E m – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψ i , ψ u , ψ e могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψ i , ψ u , ψ e зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.

Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

i(t) = I m sin(ωt - ψ i).

Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

i 1 (t) = I m1 sin(ωt)
i 2 (t) = I m2 sin(ωt + ψ 2)

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = I m1 sin(ωt) + I m2 sin(ωt - ψ 2) = I m sin(ωt + ψ).

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

I m sin ψ = I m2 sin ψ 2 ;

I m cos ψ = I m2 cos ψ 2 + I m1 ;

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

;
.

Индуктивность

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

e L = - dψ / dt.

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

e L = - L · di / dt.

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

u L = L · di / dt

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.

Емкость

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

С учетом соотношения

получаем формулу связи тока с напряжением

i = C · du C / dt.

Для удобства ее интегрируют и получают

u C = 1 / C · ∫ i dt.

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

Элемент R (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

u(t) = U m sin(ωt + ψ u),

i(t) = I m sin(ωt + ψ i).

Известно, что для резистора ψ u = ψ i , тогда для р получим

p(t) = u(t) i(t) = U m I m sin 2 (ωt + ψ i).

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

Если записать U m и I m через действующие значения U и I: , , то получим

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Элемент L (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψ u = ψ i + 90°. Для мгновенной мощности имеет

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q L равную максимальному значению р L

Q L = (U m I m) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу U L = I X L получим

Элемент С (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψ u = ψ i - 90°. Для мгновенной мощности получаем

p C (t) = u(t) I(t) = (U m I m) / 2 · sin(2ωt).

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину Q C = I 2 X C , которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

Закон Ома

Под законом Ома в комплексной форме понимают:

Í = Ú / Z

Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:

R + j X - активно-индуктивное сопротивление;
R – j X - активно-емкостное.

Однофазные электрические цепи переменного тока

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.

§ 4.1. Переменный ток, получение, параметры.

Переменным называется периодический ток, значения которого повторяются через определенные промежутки времени, называемые периодом. Период (Т, секунды) одного полного колебания.

Рис.4-1. Модель генератора переменного тока.

Рис.4-2. График синусоидального тока.

Источником силовых линий магнитного поля является постоянный магнит NS, между полюсами которого расположен цилиндрический ротор (вращающаяся часть). Ротор, с целью уменьшения потерь на вихревые токи набран из отдельных тонких листов электротехнической стали, изолированных лаковой пленкой друг от друга. Полюсам придается такая форма, что в воздушном зазоре между ними и ротором магнитная индукция изменяется по закону синуса

где a - угол между плоскостью катушки, расположенной на роторе, и нейтральной плоскостью ОО ’ . При вращении ротора с угловой скоростью ω в каждой активной стороне витка катушки (число витков W), согласно явлению электромагнитной индукции, наводится ЭДС. Тогда, ЭДС индуктируемая на концах этой катушки, будет равна

e i – ЭДС, индуктируемая в одной активной стороне витка катушки; 2 – число активных сторон в одном витке; W – число витков; ωt=a. Здесь .

Из выражения (1) вытекает, что при создании такой модели генератора ЭДС, возникающая в обмотке, закрепленной на роторе, изменяется по закону синуса. Для подключения к такому генератору нагрузки надо:

1. концы обмотки подключаются к контактным кольцам;

2. к контактным кольцам приложить щетки, с помощью которых снимаем ЭДС, и подключаем нагрузку.

Параметры переменного тока.

2.Циклическая частота – число полных колебаний в секунду.

Единицей измерения служит Гц=1/с.

3.Мгновенной значение тока i, напряжения u, ЭДС e – значение этих величин в произвольный момент времени, например, времени t, мгновенное значение тока i (см. график).

4.Амплитудное или максимальное значение тока I max , напряжения U max , ЭДС E max - наибольшее из мгновенных.

5.Действующее значение – это величина тока, которая определяется в цепях переменного тока с помощью измерительных приборов.

Здесь U, E и I – действующие значения.

6.Среднее значение величины за период. Т.к., в течении одной половины периода ток течет в одном направлении, а в течении другой то же количество электричества протекает в обратном направлении, то среднее значение тока за период равно 0.

§ 4.2. Фаза переменного тока. Сдвиг фаз.

Пусть на якоре генератора укреплены два одинаковых витка 1 и 2, сдвинутых в просранстве на угол φ, как показано на рис.4-3. При вращении якоря в витках будет наводиться ЭДС индукции одинаковой частоты ω и амплитуды E max рис.4-4, т.к, витки вращаются с одинаковой угловой скоростью в одном и том же магнитном поле.

Положение витков задано углами ψ 1 и ψ 2 для произвольного момента времени, которое можно положить t=0. Плоскости витков не совпадают с нейтральной плоскостью ОО ’ . Мгновенные значения ЭДС как функции времени будут определяться выражениями:

Следовательно, в момент времени t=0 ЭДС отличны от нуля:

; .

Электрически углы ψ 1 и ψ 2 определяют значения ЭДС в начальный момент времени и называются начальными фазовыми углами или начальными фазами .

Временной сдвиг определяется разностью начальных фаз и называется углом сдвига фаз или сдвигом фаз φ . (рис.4-4).

§ 4.3. Векторные диаграммы.

Сложить, вычесть токи, напряжения двух синусоидальных величин, имеющих разные начальные фазы, является трудоемкой операцией. Поэтому, возникла необходимость заменить синусоидальные величины вектором, длина которого равна действующему значению данной величины, а его положение по отношению к нейтральной плоскости будет определяться начальным углом. Такая замена называется векторной диаграммой. Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называется векторной диаграммой .

§ 4.4. Особенности электрических цепей переменного тока.

При изучении электрических цепей необходимо помнить, что электрический ток неразрывно связан с магнитным полем. Таким образом, при возникновении тока в электрической цепи и в окружающей среде имеются магнитные и электрические поля. Кроме того, в электрической цепи происходит преобразование электромагнитной энергии в тепловую.

В реальных цепях электрическое и магнитное поля распределены вдоль всей оси. Но такое равномерное распределение полей встречается редко, например, в линиях передачи энергии. Как правило, магнитное и электрическое поля распределяются вдоль цепи неравномерно, причем, на одних участках резко выражены магнитные поля (индуктивные катушки), на других – электрические (конденсаторы). Имеются также участки цепей, где происходит в основном преобразование электромагнитной энергии в тепловую (резисторы). Указанные цепи, называемые цепями с сосредоточенными параметрами, позволяют изучить свойства отдельных участков, а затем рассмотреть работу цепи в целом.

§ 4.5. Цепь переменного тока с активным сопротивлением.

u-мгновенное напряжение.

Ток в цеп определяем по закону Ома:

где U – действующее; R – активное сопротивление. Пример – лампа накаливания.

Такая цепь потребляет мощность, называемою активной

I – действующее значение тока.

Под активной мощностью можно приблизительно считать ту полезную мощность, которая участвует в преобразовании электрической энергии в другие виды энергии.

Векторная диаграмма.

При составлении диаграммы следует помнить, что вектора вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью ω или же говорят с угловой частотой ω, равной

Здесь, U R – напряжение на активном сопротивлении, равное

в активном сопротивлении вектор тока и вектор напряжения совпадают по направлению.

§ 4.6. Цепь переменного тока с емкостью.

Ток в цепи

где X C – емкостное сопротивление цепи, равное

здесь с – емкость в Фарадах, и т.к. эта величина очень большая, а сети имеют значения емкости в мкФ, то чаще пользуются формулой

здесь с в мкФ.

В такой цепи, независимо от направления тока, на участках 0 – 1, 2 – 3 (см. график переменного тока) идет потребление электрической энергии, конденсатор накапливает ее на пластинах и она присутствует в этой цепи в виде энергии электрического поля. В эти промежутки времени цепь работает как потребитель и значения мощности берут со знаком «+».

Когда напряжение на входе в цепи характеризуется участком 1 – 2, 3 – 4, то запасенная электрическая энергия в цепи с емкостью возвращается в сеть, цепь ведет себя как генератор, а значение мощности берут со знаком «-». Поэтому, активная мощность, потребляемая такой цепью, равна 0.Наибольшее значение мощности, потребляемой цепь, называется реактивной мощностью и определяется

[вар] – вольт ампер реактивная.

Векторная диаграмма.

Здесь U С – напряжение на емкостном сопротивлении

Как видно из векторной диаграммы вектор тока опережает вектор напряжения на угол φ=90° . При этом, говорят так, φ=90° - опережающий, т.е. вектор тока опережает вектор напряжения на угол 90°.

§ 4.7. Цепь переменного тока с индуктивностью.

Ток в цепи

где X L – индуктивное сопротивление цепи, равное

где L – индуктивность (Гн) – параметр, характеризующий свойства обмоток катушек электрических аппаратов и машин.

В такой цепи, также в соответствии с формой напряжения приложенной к цепи и в различное время (участки 0 – 1, 1 – 2), идет вначале потребление электрической энергии, которая накапливается в виде энергии магнитного поля, после чего она возвращается в сеть. Поэтому, Р=0. При этом, наибольшее значение мощности называется реактивной мощностью индуктивности .

Векторная диаграмма.

Здесь, напряжение на индуктивном сопротивлении равно

Как видно из векторной диаграммы вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ=90° . Теперь, под записью φ=90° - отстающий – надо понимать то, что вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ=90°.

§ 4.8. Неразветвленная цепь переменного тока с R, X L , X C .

Ток в цепи

где Z – полное сопротивление цепи, равное

Связь между этими сопротивлениями можно графически изобразить в виде прямоугольного треугольника сопротивления.

Векторная диаграмма. Порядок построения.

1. Находим напряжение на элементах цепи

2. Выбираем масштаб по току и по напряжению.

При выборе масштаба следует учитывать:

§ длина вектора тока должна быть чуть больше или равна длине вектора общего напряжения;

§ масштаб по напряжению должен быть таким, чтобы длины векторов напряжения на элементах цепи получились целыми числами или дробными 5 (с дробью 0,5, например 2,5).

3. По горизонтали откладываем вектор тока. Длина вектора тока равняется числовому значению тока деленного на масштаб.

4. С учетом углов сдвига фаз в активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях откладываем вектора напряжений на элементах цепи. Чтобы правильно отложить вектора напряжений делают так:

§ обходят цепь по часовой стрелке, но можно и по-другому;

§ для получения вектора напряжения на зажимах цепи надо все вектора сложить поочередно друг к другу, т.е. начало второго должно идти с конца первого, а начало первого будет совпадать с началом вектора тока. Для нашей цепи вектор напряжения на зажимах цепи равен

;

§ не забывать, что вектора вращаются против часовой стрелки.

Угол φ отмечается стрелкой, направление стрелки от вектора тока к вектору напряжения. Диаграмма построена для случая X L >X C /

Для случая X L

Для случая X L =X C

Такая векторная диаграмма показывает, что в цепи наступает резонанс напряжений. при резонансе напряжения такая цепь ведет себя как цепь с чисто активной нагрузкой, т.е. Z=R, cosφ=1, т.к. φ=0, то Q=0, P=S, а напряжение на зажимах цепи равно напряжению на активном сопротивлении. Добиться резонанса напряжения можно подбором индуктивности, емкости, реактивных сопротивлений или питать такую цепь резонансной частотой

А другим реактивная слагающая общего тока, равная разности реактивной слагающей тока катушки и тока конденсатора .

Таким образом, общий ток

Угол сдвига общего тока от напряжения определяется через его тангенс (рис.4-18):

Рис.4-18. Векторная диаграмма для разветвленной цепи.

Рис.4-19. Векторная диаграмма при резонансе токов.

Ток в неразветвленной части цепи может отставать от напряжения на угол φ при I L >I C , или опережать его при I L , а мощность , т.к. φ=0, а cosφ=1.

Таким образом, общий ток равен активной составляющей тока катушки. При этом общий ток всегда меньше тока в катушке, т.к. активная составляющая тока катушки всегда меньше тока катушки (I a 1
Отношение тока в контуре или в катушке (I 1 ≈I 2) к общему току при резонансе (I рез)

представляющее собой добротность контура, показывает, во сколько раз ток в параллельном контуре при резонансе больше общего тока в подводящих проводах.

В этом случае максимальная мощность, затрачиваемая на получение магнитного поля (U/I L), равна максимальной мощности, затрачиваемой на получение электрического поля (UI C), а следовательно, равны и максимальные значения энергии в магнитном и электрическом полях цепи W L м =W C м. Как и в рассмотренном выше колебательном контуре, в течении одной четверти периода энергия, запасаемая в электрическом поле, целиком получается от магнитного поля, а в течении второй четверти периода энергия, запасаемая в магнитном поле, целиком получается от электрического поля. От генератора в цепь поступает только энергия, расходуемая в активном сопротивлении. Т.к. реактивные слагающие тока компенсируют друг друга, то в цепи генератора проходит только активный ток, обусловленный потерями энергии в активном сопротивлении.

§ 4.10. Коэффициент мощности.

Для полного использования генератора он должен работать при номинальном напряжении U н с номинальным током I н и cosφ=1. В этом случае генератор развивает наибольшую активную мощность, равную его полной номинальной мощности,

Уменьшение cosφ вызывает пропорциональное уменьшение активной мощности, т.е. неполное использование номинальной мощности генератора.

У приемника энергии, работающего при неизменном номинальном напряжении U н и с постоянной активной мощностью Р, ток изменяется обратно пропорционально cosφ, т.к.

.

Следовательно, уменьшение cosφ вызывает увеличение тока и увеличение мощности потерь на нагревание проводов I 2 r.

По указанным соображениям стремятся повышать cosφ каждой установки до значения, близкого к единице.

Контрольные вопросы:

1. Что называется переменным электрическим током?

2. Как можно изобразить переменный электрический ток?

3. Период, частота, амплитуда переменного тока.

4. Мгновенные и действующие значения тока, напряжения и ЭДС.

5. Фаза переменного тока. Сдвиг фаз.

6. Векторные диаграммы цепи переменного тока.

7. Что представляют собой особенности электрических цепей переменного тока?

11. Что представляет собой неразветвленная цепь переменного тока с активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью?

12. Как построить векторную диаграмму неразветвленной цепи переменного тока?

13. Что представляет собой разветвленная цепь переменного тока?

14. Коэффициент мощности.

Поддержите проект — поделитесь ссылкой, спасибо!

Читайте также

Дайте определение понятию историография Как и зачем рассчитывать число часов использования заявленной мощности Что делать, если страховая компания выплатила мало?